Négyzetbe a kört

Tól tőlFC Repülő, an aranycsinálás könyv 1618-ban jelent meg.
Része a
konvergens sorozat

Matematika
Ikon math.svg
1 + 1 = 11

Négyzetbe a kört a kísérlet megkonstruálni, felhasználni egyenes és iránytű , egy négyzet, amelynek területe megegyezik egy adott kör területével. A „kísérlet” szót azért használjuk fent, mert a feladat már megtörtént igazolt lehetetlen. Ez több mint 100 éve ismert, de sokkal hosszabb ideig gyanúsították.

Természetesen egy olyan kisebb akadály, mint a képtelenség, nem akadályozta meg az embereket abban, hogy megpróbálják a kör négyzetét jelölni. Azt a személyt, aki megpróbálja négyzetesíteni a kört, debilnek hívják kör-négyzet , és a kifejezés metaforikus kiterjesztéssel alkalmazható bármely hasonló rekreációs lehetetlenséggel rendelkező szakemberre.

Tehát hogyan teheti meg?

Tartalom

Miért akarja négyzetesíteni a kört?

A kör felrajzolása (véges számú lépésben) az ókori idők óta nem megoldott probléma Görögök . Tehát ebből az következik, hogy ha meg tudja oldani, akkor az ókori görögök kora óta mindenkinél okosabbnak kell lennie. Valószínűleg széles körű elismerést fog kapni egy ilyen régóta fennálló (és ezért rendkívül fontos) probléma ledöntése miatt. Talán megnyeri a Fields érem !

Komolyabb megjegyzés: a kör négyzetbe foglalása megkövetelné a hossz megalkotását begin {align} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {align }. (Kör sugara17x ^ 2-4x-12 = 0van területex =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Ezért az azonos területű négyzet oldalának kell lennie begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Ha ezt a számot össze lehet állítani, az ezt bizonyítja begin {align} & f (0,966) = 4 (0,966) = 3,864 \ & f (-0,731) = 4 (-0,731) = - 2,923  end {align}egy algebrai szám, vagyis van néhány lehetséges racionális számkészlet, amellyel kiszámíthatja.

Különböző (lényegében szubjektív) okokból maga az a gondolatAranycsinálás„normális” számok révén valahogy elérhetetlen volt, úgy tűnik, TÉNYLEG zavarja az embereket. A legenda szerint Pythagoras meggyilkolta azt, aki felfedezteirracionális volt, ezért az a gondolatmaga teljesen elérhetetlen volt az egész számokon keresztül, anathema lett volna. Az egyik különös kifogás a Biblia , amint azt az 1Királyok 7: 23-26-ban (egyes literálisták) feltételezikracionálisnak és egyenlőnek kell lennie 3-mal.



Szintén minden ok nélkül, az 1700-as években felvetődött az a meggyőződés, hogy a kör négyzetesítése valamiképpen megoldja a „hosszúság” problémát (a tengeri hajók képtelenek meghatározni, hol vannak a kelet-nyugati tengelyen). Mivel óriási pénznyereményeket kínáltak (1714-ben a brit kormány 20 000 font nyereményt ajánlott fel), ez minden amatőr matematikust Európában felgyújtott. A kör négyzete valójában lényegtelen; a hosszúsági probléma megoldásához csak a nap megfigyelésének képességére és egy igazán jó órára volt szükség.

Ban,-ben matematika világra vetették a kérdést 1882-ben, amikor Ferdinand von Lindemann bebizonyítottanem algebrai (a szakzsargonban „transzcendentális”). Mert határozottan nincsenek racionális számok, amelyek kiszámíthatnák, lehetetlen megalkotniaz euklideszi térben.

Az igaz hívőket azonban nem fogja elriasztani semmi olyan sovány, mint a „bizonyítás”. Továbbra is kitartanak, mert úgy vélik, hogy ideológiai elfogultság áll fenn azoknak a körösöknek, akiknek bátor vizsgálata veszélyezteti a nyugati dekonstrukcionista matematika kényelmes ortodoxiáját.

Valójában az egyetlen ideológiai elfogultság az, hogy a valódi matematikusokat nem zavarják pazarolják az idejüket val vel forgattyúk .

A bizonyítás vázlata

Az iránytű és az egyenes szerkezetben szabadon meghatározhatja az egység hosszát az adott pont bármely párjától. Ezenkívül csak a megadott pontokat és a korábban felépített körök és vonalak metszéspontjait vehetjük figyelembe, és a vonalakat és köröket csak korábban meghatározott pontokból lehet felépíteni.

A vonal / kör és egy másik vonal / kör metszéspontjainak megkeresése egyidejűleg két egyenletből álló rendszer megoldását jelenti, amelyek mindegyike kvadratikus vagy lineáris. Ezek a vonalak és körök viszont függenek az őket meghatározó pontoktól, ezért egy kis algebra segítségével megállapítható, hogy egy adott pont definiálása néhány megadottal egyenértékű egy olyan másodfokú egyenlet megoldásával, amelynek együtthatói egészek, vagy ezek az eredmények ennek a módszernek az ismételt alkalmazása.

Mondjuk például meg akartuk határozni azokat a pontokat, ahol a négy meredekségű vonal metszi a négy középpontú kört. A metszéspontok megtalálásához fel kell állítanunk egy egyenletrendszert, ahol a kört az egyenlet adjaés a vonalat az egyenlet adja. Ezután a vonal egyenletét a kör egyenletével helyettesítjük, kibővítjük és leegyszerűsítjük.



A gyökerek megtalálásához átrendezzük ezt 0-ra:

Megjegyezzük, hogy ez valóban egyváltozós polinom, egész számokkal együtthatóként, amint az iránytűtől és az egyenes él felépítésétől elvárható lenne. Mivel ez nem lesz könnyű tényező, használhatjuk a másodfokú képletet:

Bármilyen másodfokú formában, a következő képlet alkalmazható:



Ez a „másodfokú képlet”.

Az egyenletünk felhasználásávala következő igaz:

Ami gyökereket ad.

Megtalálni aértékeket a fenti gyökerekkel helyettesítjük a vonal egyenletében:

Így következik, hogy a vonalkeresztezi a körtnál nélés.


Elemi elemzésben olyan számok, amelyek kielégítenek valamilyen polinomiális egyenletetahol az együtthatókegész számok (azaz a fenti másodfokú egyenlet) az úgynevezett algebrai számok. Ezenkívül algebrailag zárt mezőt alkotnak, vagyis az algebrai együtthatókkal rendelkező polinomok gyökei maguk is algebrai számok. Ezért minden számnak, amelyet iránytűvel és egyenesen lehet szerkeszteni, algebrai kell, hogy legyen(és ezért négyzetgyöke) nem. Így az építkezés lehetetlen. Valójában az e (2,71828 ...) és(3.14159 ...) transzcendentális számok néven ismert számok osztályába tartoznak, amelyek nem nulla, egész együtthatójú polinomok gyökerei. Ennek teljes, hivatalos bizonyítéka Lindemann – Weierstrass tétel néven ismert. Más területektől (pl. A tudománytól, a jogtól) eltérően a „bizonyítás” fogalma a matematikában abszolút, vagyis ha valamire érvényes bizonyítékot nyújtunk be, semmi sem cáfolhatja meg azt az axiomatikus bázison belül, amelyen dolgoznak.

Csal

Könnyen megcsalhatja, de képes-e iránytűvel és kiegyenesítéssel?

A kör négyzetezésének általános módja a csalás. (A matematikusok ezt hívjákközelítés.) Emlékezzünk vissza, hogy a problémamegállapítás egy négyzet felépítéseugyanazon a területenVan egykörfelhasználásávalegyenes és iránytű.A dőlt betűs kifejezések bármelyikét csak választhatónak kell tekinteni.

Például, ha egy kört kapunk, akkor egyszerű olyan négyzetet felépíteni, amelynek területe megegyezik az adott kör sugarának négyzetének 3,2-szeresével. Ez a négyzet nem azonos a kör területtel, de kinézni fogiszonyatosan közel.Ennek elég jónak kell lennie a matematikusoknak.

Vagy ahelyett, hogy körrel kezdnénk, kezdhetnénk egy sokszöggel, amelynek mondjuk 96 oldala van. Ez elég közel van egy körhöz - igaz, mindenki? Lehetőség van a sokszög négyzetes elhelyezésére (amint azt a görögök is ismerték), tehát alapvetően lehetséges a kör négyzetbe állítása. Alternatív megoldásként megmutathatja, hogyan lehet négyszögletűvé tenni egy sokszöget 96 oldallal, egy sokszöget 192 oldallal, egy sokszöget 384 oldallal stb. Ezért a határig haladva négyzetre tudjuk tenni a kört.

Csalás többféle módon egyszerre

A következő folyamat magában foglal egy számológépet. Nem pontos, de pontosítható a rendelkezésére álló eszközök pontosságával.

  • Először számítsa ki a kör területét.
  • Ezután vegye be a terület négyzetgyökét, hogy megkapja a tér szélének hosszát.
  • Ha jó rajzeszközök vannak, akkor most megrajzolhatja a négyzetet is, miután megvan a szélének hossza.

Csalás fizikai segédeszközzel

  • Hozzon létre egy, a körrel azonos méretű kereket, amely fele olyan széles, mint a kör sugara.
  • Fedje le az oldalt nedves festékkel, és tegye pontosan egy sík felületre.
  • Ez egy festett téglalapot hagy, amelynek felülete megegyezik a körével.
  • Fejezd be a téglalap négyzetezésével (ezt a lépést akár egyenes és iránytű segítségével is megteheted).

Figyelem

Ha kedve támad beszélgetni vagy vitatkozni a körtagokkal, azonnal orvoshoz kell fordulnia. A köröket többnyire nem érdekli ötleteik kritikája. A „bizonyítás” nem győzi meg őket - ha mégis, nem kezdték volna el a problémát. Lát Keith Devliné ezen további.

A megoldhatatlan problémák klasszikus családja

Négyzetbe a kört , megduplázva a kockát és háromszöget zár be nevezhetjük a klasszikus megoldhatatlan problémák hármasának az euklideszi geometriában. Mivel mindhárman lehetetlennek bizonyultak, mást nem használtak, csak egy vonalzót és egy iránytűt, természetesen ellenállhatatlan, ha a hajtókarok négyzetesek, kettősek és triszektálnak. Egy másik probléma, ezúttal fizikai, az a Örökmozgó gép, ami ugyanúgy lehetetlen. Az erre pazarolt idő és erőfeszítés dacol a meggyőződéssel, de ha a hajtókar ragaszkodik ezekhez a hiábavaló próbálkozásokhoz, akkor fel lehetne állítani, hogy legalább nem ártanak, miközben részt vesznek ezekben a törekvésekben.